一維諧振子鏈的集體行為如何用升降算符描述？聲子是什么，它是一種真實存在的粒子嗎？如何確切地理解量子力學中的波粒二象性？7月30日12時，《張朝陽的物理課》第一百六十二期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先帶大家復習了如何在一維諧振子鏈上定義升降算符，并用其改寫系統的哈密頓量，然后仔細計算了升降算符的對易關系，并依此驗證了升算符會將系統激發到更高的能級。
類比光子的行為，張朝陽將這種激發比喻為升算符在系統中產生了一個“聲子”。在討論金屬晶體等固體時，聲子可以認為是晶格高頻集體振蕩體現出的粒子性，是一種“準粒子”；相反，如果晶格集體振蕩頻率較低，它可以近似地經典的機械波模型描述，此即波粒二象性在諧振子鏈上或者說固體中的體現。
一維諧振子鏈上的升降算符
諧振子是一個普遍的、簡潔但絕不簡單的物理模型。事實上，當我們考察自然界中平衡點附近受微擾作用的系統時，其中絕大部分能夠以一個或若干個諧振子來近似描述。一個特別成功的例子是在固體物理中，我們可以將金屬原子的微觀排布抽象為一系列點陣，其中某一點處原子在某種作用下偏離平衡點一段距離后，所受到的相互作用即可用諧振子勢來近似描述。更簡單地，我們可以將其抽象為一個等距排布的一維諧振子鏈。
在前幾節直播課上，張朝陽圍繞這一諧振子鏈模型，分別從經典與量子的角度展開了詳盡的討論。利用格點傅里葉變換，張朝陽成功地在“ k 空間”上將諧振子鏈的哈密頓量按模式分解為
其中
這里各模式對應的能量，或者說色散關系為
同時，我們取無量綱化的“虛位移” ξ(k) 及其正則動量 π(k) 為自由度，它們都是非厄米算符，但滿足恒等關系
下文中，不致混淆時，我們約定將略去加諸算符上的 hat 與 tilde 記號，以及（對第一布里淵區的）積分與（對全體整數的）求和的上下限，以提高文章的可讀性。
在上節課中，我們已經證明兩算符之間滿足對易關系
類比單個諧振子，可以在每個模式分別定義升降算符
同樣可以問它們之間的對易關系。首先可以計算到，按定義以及利用對易括號的線性性
利用 ξ 和 π 的對易關系，不難看出結果中的前兩項為 0。而后兩交叉項中，利用了恒等關系 (1) 可以將第一項化簡為
對第二項，首先可以利用對易括號的反對稱性，有
不難發現，兩交叉項實際上只相差一個負號，即有
同理，不難得到兩個升算符之間
類似地，我們還可以計算
其中我們多次用到了恒等關系 (1)，以將對易括號轉變為我們已知的形式。可以看到，升降算符之間不再對易，符合我們從討論單體諧振子行為中得到的經驗。
在上一節課中已經證明，單個模式的哈密頓量可以用升降算符改寫為
與單體諧振子的結果不同，單個模式的哈密頓量中即有前向傳播的成分（以 k 為參數），又有反向傳播的成分（以 -k 為參數）。幸運的是，如果考慮整體的哈密頓量
事實上我們可以重新整理與合并兩項。注意到，第二項可以利用換元
得到
最后一個等號僅是符號上的改寫。所以，結果上
可以重新定義一個適合的“微分哈密頓量”，記為
它即與單體諧振子的哈密頓量有幾乎一致的形式，便于下面繼續展開討論。
升降算符的作用與模式激發
接下來的要問的問題是，我們所定義的“升降算符”，是否名副其實，可以在系統中激發或者湮滅一個諧振子模式、提升和降低能譜一個量子化地能級？更嚴謹地表達，張朝陽希望能夠證明，類似于單體諧振子的情形，如果有某本征態滿足
則
也是微分哈密頓量的本征態，且對應本征值量子數為 λ + 1。
為了證明這一點，我們將“微分哈密頓量”作用到升算符作用后得到的態上
先看第一項中的算符運算，利用升降算符的對易關系，有
而第二項
兩結果中，第一項的括號恰好分別對應“微分哈密頓量”的中兩項，而第二項保持一致。于是將兩式相加有
在上面的結果中，我們遇到了 δ(0)。按 Dirac-δ 函數的定義，在這一點上取值將發散到無窮大，并非是個良好定義的量。與其相對的是所謂的 Kronecker-δ 記號
兩者差別在于 δ(k-k') 作為函數可以連續取值，即 k 和 k' 之間的間隔 Δk 可以取無窮小，其代價即是在兩點完全重合時函數取值發散到無窮大，給我們的討論帶來了困難。而 Kronecker-δ 記號則不然，它是離散化的，要求兩點之間有最小的間隔，兩點重合時取值仍然有限。按照前面課程的講解，我們認識到，參數 k 的連續取值源于我們在考慮一個無窮長的諧振子鏈。然而，張朝陽提醒，自然界中并不存在“無窮長”，只有“充分長”。一個“充分長”的諧振子鏈對應到“ k 空間”上，其參數應當保持分立取值，即 Dirac-δ 應當視為用 Kronecker-δ 記號在間隔取極限 Δk → 0 后的簡單記法。同時，“充分長”表面，如果我們專注于考慮模型中段部分的行為，可以暫時地忽略邊界效應帶來的影響，前面的討論仍然是正確的。
按照這個思路，我們可以考慮一個 N 個諧振子組成的，長度為 d 、點間隔為 l 的諧振子鏈。對應地，轉換到“k 空間”上，參數取值應當有間隔
于是
其中，N 是一個可調的系統參數，當 N 足夠大時，由于我們已經忽略邊界效應，它的取值不應影響計算結果。換句話說，可以在上述計算中，將 Dirac-δ 函數以“有限長度近似”替代為
（更嚴格地表述是，將參數 k 離散化后，應當重新定義升降算符以將參數 N 吸收到定義去，使得物理的結果自然地不依賴于該參數）利用這個代換，可以得到
這個結果表明，經過升算符地作用后得到的新態矢是對應量子數 λ + 1 的本征態
同樣的方法可以證明降算符作用后
而基態的定義即是某個“降無可降”的態，即要求滿足等式
利用在單個諧振子的討論中得到的經驗，我們可以這樣理解升降算符的意義。給定波數 k 對應的激發模式存在一系列的分立能級。升算符作用到基態上，將系統激發到第一激發態上，系統能量對應增加一個單位。與光子作比擬，我們可以認為，這種系統能量按一定最小單位的增加是因為我們在系統種引入了某種“粒子”。這種粒子對應的是晶格或者說一維諧振子鏈上的某種振蕩模式，因此被稱之為“聲子”。更術語化的表達，聲子是在晶格集體運動中產生的一種準粒子（Quasi-particle），本身具有玻色子的性質。
機械波還是粒子？諧振子鏈上的波粒二象性
在我們暫且回到在“q 空間”中表達的哈密頓量
其中勢能的第一部分是一個將點粒子束縛在特定某點上的時長，而第二項是鄰近粒子間的相互作用。對一個真實存在的金屬晶體，在空間上并不會有個特定的點，讓其中某個原子只能束縛在某個位置——那樣甚至我們無法搬動這樣一塊晶體。因而在考慮對晶體整體建模時，應當有
即只需要考慮鄰近粒子間的相互作用。
另一方面，回想之前我們對液氦的處理，事實上我們取的是
但此時注意我們的模型關注的是系統中單個，但具有代表性的，粒子的行為——而不是整塊晶體的集體作用。對單個粒子而言，它將感受到的是其它粒子共同形成的整體的相互作用或者說勢場，是對系統的一個更粗略的刻畫。
回到對諧振子鏈的討論，如果我們認為它是在對一個真實存在的金屬晶體的建模，色散關系理應改寫為
其大致的函數圖像如圖所示。
不難看到，函數關于 k = 0對稱，不妨暫且聚焦于 k > 0部分。在波數 k 很小時，有
此時各簡正模式
即為類正弦波動，有
即相速度與群速度保持一致。這種長程的、能量較低的模式，可以認為對是固體中機械波的傳播過程刻畫。即它描述的應該是固體中的聲波，對應的速度是固體中的聲速
鄰近相互作用的頻率與晶格的勁度系數和原子質量相關
前者可以通過波恩-奧本海默近似計算得到，即給予了我們一種將理論計算結果與具體實驗相對照的途徑。
另一方面，當模式能量較高，波數取值靠近到第一布里淵區邊緣
時，模式的群速度接近于
即這樣一個高頻模式“幾乎不傳播”。此時，這種波動模式的波長接近于晶格長度，所以這種振動難以跨域晶格向前傳播，其行為反倒是像一個被困在了晶格中的粒子。此時我們說，不如稱之為它描述了固體中的一個聲子。量子力學中的波粒二象性（Wave-particle duality）在對固體集體行為的討論中體現得淋漓盡致！
據了解，《張朝陽的物理課》于每周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。