粒子自旋為何繞恒定磁場旋轉，又為何在圓磁場驅動下頻頻點頭？如何直觀地理解核磁共振的產生機制？又如何實現和利用核磁共振？為什么說核磁共振是當代化學家和醫師的“超級慧眼”？
6月19日12時，《張朝陽的物理課》第152期暨線下十七課開播，搜狐創始人、董事局主席兼首席執行官、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，承接上一期課程，為大家講解粒子自旋在不同磁場中如何演化。通過詳細計算，張朝陽了解到，在一個方向周期性變化的圓磁場驅動下，粒子自旋的拉比振蕩將出現共振現象。對這一現象的深入研究帶來了現代核磁共振技術，通過分析核磁共振頻譜譜峰的偏移、強度和劈裂，使得對有機物的成鍵結構進行直接探測成為可能。最后，張朝陽與現場的聽眾進行了互動，詳細回答了聽眾提出的物理問題。
粒子自旋與磁場相互作用的直觀圖像
早在上世紀20年代，德國物理學家斯特恩（Stein）和蓋拉赫（Gerlach）通過巧妙的實驗設計，證明了微觀粒子具有分立取值的磁矩。而借由經典力學的經驗，磁矩的產生一般與帶電粒子的旋轉或者說角動量相關，于是可以大膽猜測，微觀粒子具有一類特殊的角動量，稱為自旋角動量或簡稱為自旋。
在最近兩期線下課上，張朝陽聚焦于這種特殊的角動量在不同磁場中的演化。一方面張朝陽指出，在我們感興趣的情景下，粒子的自旋與空間運動是解耦的，此時自旋的理論形式簡單但深刻，將帶領我們打開量子力學的矩陣形式的大門。另一方面，張朝陽更希望他的物理課能夠從理論走向實踐，從科學走向科技。歷史上，對自旋的深入研究帶來了現代科技核磁共振（Nuclear Magnetic Resonance, NMR）技術，極大推動了結構化學和醫學的發展。在系列上下兩期課程中，張朝陽希望能夠與觀眾們一同進行“研究式學習”，深入解析這樣一種現代技術背后的基礎物理原理。
為了更好地展開討論，張朝陽首先簡單回顧了如何以線性代數和矩陣的語言描述粒子的狀態，并給出了任意方向上的自旋算符或者說泡利矩陣以Sz的本征態|±?為基矢的矩陣表達
及其正方向本征態
它提示我們，事實上粒子的任意自旋態可以形象地對應為一個由θ和?標記的單位矢量，而后者能夠幫助我們建立起自旋演化的直觀圖像。當磁場不存在時，任意單位向量對應的自旋態都具有同等的地位，不作區分。
而當加入一個磁場時，系統的哈密頓量會額外多出一項自旋磁矩與磁場的相互作用項
當磁場方向與z軸正方向一致
時，又有
解含時薛定諤方程可以發現，如果初始時刻，自旋不與磁場方向共線，接下來它將以磁場方為軸繞轉。這種現象稱為自旋的拉莫進動，而對應的圓頻率ω0又稱為拉莫頻率，它將是核磁共振里面的重要研究對象。
如果再加入一個與z軸不共線的擾動磁場，系統的哈密頓量表象和我們寫下矩陣形式的Sz表象不再保持一致。換言之，此時系統的哈密頓量將帶有額外的非對角項
利用線性代數和矩陣運算，可以求得哈密頓量的本征態|ψ±?和當前基矢|±?之間可以通過變換矩陣
相聯系，其中角參數滿足
而后，可以求得哈密頓量的本征值為
其中
如果初始時刻，粒子處于Sz正方向本征態|+?，以哈密頓量本征態為基矢，可以將其表達為
經過一定時間后，應有
如果再切換回到Sz表象下，有
利用歐拉公式，可以將其一步化簡為
如果只關注粒子躍遷到|-?的概率，則有
是一個隨時間周期振蕩地函數，稱這種現象為拉比振蕩。直觀地，我們可以這樣理解這種周期性行為：如圖，在疊加多一個擾動磁場后，和磁場的方向不再沿著z軸正方向。
而根據前面的計算與圖像，自旋隨時間的演化應當是繞著合磁場方向的拉莫振蕩——它的軌跡可以認為是一個傾斜有角度的圓。此時，如果觀察自旋在z方向上的分量，其大小顯然回隨轉動以一定周期變化，正如我們所定量分析得到的。
自旋在圓磁場中的演化與共振
進一步，如果考慮加入的擾動磁場不是一個方向恒定的磁場，而令其方向在xy平面上以一定頻率旋轉
此時，系統的哈密頓量可以寫為
利用基矢|±?，可以將其寫成矩陣的形式
如果記
則含時薛定諤方程可以寫為
仔細觀察這組方程，可以發現它與我們之前所解的方程都不相同。在此前，我們習慣于利用分離變量法的思想，在求出哈密頓量本征值后，對每一個分量加上相應的含時相位再重新組合出方程的解。然而，這樣做的前提是哈密頓量本身不隨時間變化——即分量變量法是適用的。此時則不然，由于磁場方向隨時間轉動，哈密頓量的非對角項取值也依賴于時間。為了解決這個困難，我們可以再借鑒經典力學中處理轉盤問題的經驗。利用上一小節中建立的直觀圖像，張朝陽提醒，為何不讓代表自旋的方向矢量隨著磁場方向一起轉動呢？利用同樣再上一小節中建立的，自旋態與單位矢量的對應關系，“讓態矢一起轉動”在數學上即取變換
代回到薛定諤方程中， 注意到它事實上等價于一組兩條方程
消去相同的指數項后，它等價于矩陣方程
不難看到，變換后的方程與含時薛定諤方程有同樣的形式，且變換后的“哈密頓量”不再含時，分離變量法及之前的技巧變得適用。
于是，利用這種類似于經典力學中“參考系變換”的技巧，成功地把旋轉磁場問題再度轉化為一個被非對角化哈密頓量主導的演化問題。為了利用上一節的結論，首先計算一些相關的參數，比如與能量本征值相關的
以及與轉換矩陣相關的
和
于是可以知道，如果初始時刻
隨著時間的流逝，
恢復到原來的表示，即
如果只關注它躍遷到|-?的概率，則有
一般而言，這個振蕩周期應當小于1，即不能自旋取向不會完全翻轉。
然而注意到，如果加入的旋轉磁場的變化頻率ω恰好等于拉莫頻率ω0時，有
對應的含時波函數為
而躍遷概率
振幅竟然取到1，完全翻轉變得可能，可以認為出現了共振現象。我們仍然可以利用圖示去直觀地去理解這個結果。共振（ω=ω0）時，在“旋轉坐標系”下與自旋對應的單位矢量“感受不到”由B0引起的拉莫進動，認為B0消失了。在它的視角，它僅繞橫向（Transverse）磁場B1進動，此時上下態概率振幅相等。
而在不嚴格共振（ω接近ω0但不相等）時，自旋“感受到”的磁場是橫向磁場B1，與強度為
方向沿z軸正方向的等效磁場二者之和，自旋對應的單位矢量將繞著這個和磁場所代表的矢量做進動。注意到等效磁場強度很弱，即，可以理解為是B1微微抬頭。
核磁共振技術帶來結構化學的新認知
在上面的討論中，我們將注意力集中在分析單個粒子的自旋上。然而，在實際應用場景中，核磁共振所關注的是許許多多氫核的集體行為。張朝陽指出，此時細致而定量的分析原則上需要用到量子統計力學的復雜計算，但為了簡單扼要地闡明核磁共振的基本原理，這里不妨暫時關注于更定性的分析。
首先，根據熱力學和統計力學地基本精神，在一個恒定的環境中，一團氫核在一段時間的演化后會達到熱力學平衡態。在不外加磁場時，團體中任意氫核的自旋取向也是任意的，整體不呈現顯著的磁化。而如果將這團氫核放置在一個沿z方向的強磁場中，比如即我們在醫院做核磁共振時被推入一個1.5T甚至3T的磁場中，此時哈密頓量中磁矩與磁場的相互作用項引起能級劈裂，待系統重新恢復到熱平衡時，自旋在z軸的取值分布將滿足玻爾茲曼分布。整體而言，這團氫核將會表現出順磁性。
其后，考慮在系統中加入一個頻率在無線電頻率范圍內的圓磁場脈沖。脈沖的加入會驅使系統處于非平衡態，此時由于熱關聯被破壞，每個粒子近似地可以認為是獨立演化地，即上面對單個粒子地分析近似成立。如果磁場的頻率條件到恰好在氫核的共振頻率附近，每個氫核地自旋將被極大地翻轉，即此時幾乎可以認為將氫核自旋在上下態取值分布幾乎是等概率的。換言之，此時整個系統的磁矩可以認為是被限制在xy平面上轉動的。此時，如果利用一個橫向線圈記錄xy平面上某一特定方向的磁化強度，我們預期將會得到一個正弦信號，其頻率等于繞大磁場進動的拉莫頻率。
一段時間后將脈沖撤去，可以想象系統將趨向于恢復初始在大磁場中的熱平衡態。在撤去磁場后，由于氫核自旋在xy平面上的不同取向之間不具有能量差，于是它們很快地弛豫到平衡態，這個過程被稱為退相位化（Dephasing）過程，它的時間是系統的參數，稱為弛豫時間（Relaxation time）T2。在弛豫時間內，由于電子云的屏蔽效應將削弱氫核所感知到的磁場強度，不同位置的氫質子有著微微不同的拉莫頻率ω0，進而如果對橫向線圈里的動生電動勢曲線作傅里葉分析，可以預期能看到多個分布在不同頻率處、強度不等的譜峰。進一步如果鄰近處存在多個氫核，對應頻率的譜峰會發生劈裂。
據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。
核磁共振原理
含時磁場問題的波函數
含時磁場問題的Hamiltonian