求解一維諧振子能級存在捷徑嗎？升降算符是怎樣的？怎么借助升降算符求出諧振子的能級與定態波函數？7月9日12時，《張朝陽的物理課》第一百五十六期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先介紹了位置算符、動量算符及它們無量綱化后的算符，然后引入升降算符的定義，推導了這些算符之間的對易關系，并建立起了哈密頓算符與升降算符之間的關系，借助這些算符之間的對易關系輕松地得到了諧振子的各階能級以及各階能級對應的波函數。最后，張朝陽還借助諧振子的基態性質定性分析了液氦在大氣壓下不存在固態的原因。
諧振子的升降算符及其與哈密頓算符的關系
在之前的物理直播課中，張朝陽介紹了諧振子系統的微分方程解法，其中需要用到漸近分析、冪級數展開、遞推公式等多個數學工具，過程略顯復雜。在這一次直播課中，張朝陽介紹了諧振子的升降算符解法，這是一種代數解法，涉及到的微積分知識很少，推導過程也很簡潔。張朝陽把諧振子的微分方程解法比喻成走路，而把升降算符解法比喻成搭橋——如果走陸路到終點，則需要繞很遠的路，但是如果搭了一座橋，那么就可以跨越很多的障礙，快速地到達終點。接下來，張朝陽將會詳細介紹怎么把這座橋搭出來。
諧振子的哈密頓算符為
其中，m是粒子質量，ω是諧振子的固有角頻率。在坐標表象中，動量算符對態的作用可以表示為
另一方面，在坐標表象中，位置算符對態的作用表示為
根據上面兩式，容易知道位置算符和坐標算符的對易關系為
為了避免量綱所帶來的符號繁瑣，張朝陽借助如下兩個常數：
然后定義
這樣得到的X與P都是無量綱的，X與P的對易關系為
借助無量綱的X與P，哈密頓算符的表達式能得到很大的簡化：
如果以?ω作為能量單位，那么哈密頓算符可以進一步簡化為
觀察這個表達式，X與P處在完全對稱的地位上。回憶在復數域中，我們有
這提示我們前述哈密頓算符也可以進行類似的因式分解。但是，與實數不同的是，對于算符x與算符y，它們一般是不可對易的：
這意味著對于數來說成立的因式分解，在算符上不一定成立。不管怎么說，我們應該就當前情況嘗試一下。為此，張朝陽引入了如下算符：
為了符號簡約以及與其他教科書的一致性，這里省略了算符a上的hat符號。上式等號右邊的1/√2是因為哈密頓算符中的因子1/2。注意到X與P都是厄米算符，因此可以得到
這個算符正好對應著前面介紹的因式分解中的(x-iy)部分。為了弄清楚哈密頓算符能否被因式分解，張朝陽計算了如下算符乘積：
由此得到
可見，雖然諧振子的哈密頓算符不能被直接地因式分解，但是卻能夠在相差一個常數項的情況下被因式分解。經過類似的計算，可以得到
上面兩式相減即可得到
這個關系也可以由X與P的對易關系以及a的定義式直接計算得到。
巧用對易關系 求解能級與波函數
定義算符N為
算符N與哈密頓算符的關系為
由此可見，N與哈密頓算符只相差一個常數（算符），如果能求出N的本征態與本征值，那么哈密頓算符的本征態與本征值也隨之求出來了。為此，設|ψ_l〉是N的本征值為l的本征態，滿足
因為
所以N是厄米算符。又因為厄米算符的本征值都是實數，所以l只能是實數。
這時候，張朝陽提示大家說，a|ψ_l〉也是N的本征態，這一點可以通過將N作用其上來證明：
其中利用了a與a^+的對易關系：
從前一結果可以知道，如果a|ψ_l?不等于0的話，它是N的以(l-1)為本征值的本征態。另一方面，可以得到
所以，a^+|ψ_l〉是N的以(l+1)為本征值的本征態。從這些結果可以看到，如果|ψ_l〉是N 的以l為本征值的本征態，那么算符a將會使得態的本征值減1，而a^+則會使得態的本征值加1，因此a和a^+被統稱為升降算符。
算符N的本征態|ψ_l〉可以被算符a持續地“降”下去嗎？由于a|ψ_l〉是N的以(l-1)為本征值的本征態，因此存在常數λ使得
上式的|ψ_l〉與|ψ_l-1}〉都被假設成歸一化的態。因此，有
由此可見N的本征值l必須為非負實數。從上式也能看出來，當l不等于0時，a|ψ_l〉不等于0；而當l等于0時，a|ψ_l〉=0。
進一步地，對于非負實數l，總能找到一個整數n使得0≤l-n<1。定義ε為
那么l=n+ε。考慮到算符a的作用，有
根據前面的分析，通過a作用小于或等于n次所得到的態都不為0，于是算符N存在以ε為本征值的本征態。但是
上式存在如下問題：由于ε滿足0≤ε<1，所以ε-1<0；另一方面，根據前面的分析，算符N的本征值為非負實數，因此不存在本征值為(ε-1)的態。但是根據前面得到的a的性質，a會使得本征值減1，因此a|ψ_ε〉是N的本征值為(ε-1)的態——這就互相矛盾了，除非a作用在態|ψ_ε〉上得到的是零態矢。根據前面的分析，只有當l等于0時，a|ψ_l〉才會是0。于是，要想a作用在態|ψ_ε〉上得到的是零態矢，ε必須是0，這樣的話就不存在矛盾了。由此可知
借助a^+的性質，可以得到
所以，只要求出|ψ0?，那么其他本征態都可以通過a^+的作用得到了。又因為
在坐標表象下可以表示為
將常數β的表達式代入，化簡可得
或者寫成微分表達式
由此立即可以得到
這正是之前通過求解薛定諤方程得到的諧振子基態波函數，在這里只求解了一個簡單的一階常微分方程就得到相應的結果了。
為了得到其他本征態的表達式，還需要知道a^+作用后導致的系數，設這個系數為λ_n，那么有
那么有
通過適當選取|ψ_n+1}?的相位，可以讓λ_n為正數，這樣就有
換言之，有
對于|ψ0?，有
由此可以得到
如果使用坐標表象，那么上式可以表示為
由此可見，通過求導及一些四則運算，可以得到任意階的本征態波函數。回憶使用微分方程的求解方法，需要分析冪級數系數的遞推關系以及相應的截斷條件，才能得到相應的波函數，而使用升降算符的解法不僅能快速得到能級表達式，還能給出各階波函數的一個統一的表達式。
分析基態波函數的彌散 了解液氦無法凝固的原因
回到哈密頓算符上，由于N的本征值為非負整數，因此諧振子的能級為
當n=0時，E0=?ω/2，可見諧振子的最低能級并不為零。這一點與經典力學是不一樣的。在經典力學中，諧振子可以靜止在勢能最低的位置上，此時勢能與動能都為零，因此總能量為0。而量子諧振子的E0>0表明，諧振子不可能完全靜止于勢能最低的位置上。張朝陽強調，這是不確定性原理的具體表現，如果勢場中的粒子精確地處于勢場中的某處，那么它的動量不確定度會變成無窮大，從而其動能均值不等于0。
借助前面得到的基態波函數，可以知道
如果對波函數進行傅里葉變換，那么可以得到
于是，對于基態波函數有
所以
可見諧振子基態波函數是滿足不確定性原理的。
張朝陽進一步介紹說，諧振子基態波函數的彌散可以用來解釋為什么在一個大氣壓下無論溫度多低，液氦都不會凝固。為此，張朝陽假設氦在某個溫度下凝結成了固體，氦原子被約束在有限的空間上。由于氦原子的外層電子是處于填滿的狀態的，因此氦原子之間的范德華力很微弱，這就導致“氦固體”中氦原子的勢阱很淺。設相應的勢為u(x)，平衡位置為x0，那么
其中，u''表示u(x)對自變量求二階導數。上式表示在平衡位置附近，勢阱可以近似為諧振子勢，并且滿足
這里的m是氦原子質量。由此可得
所以氦原子在勢u(x)中的基態波函數的彌散程度為
由于勢阱很淺，所以u''(x0)很小，同時又因為氦原子質量m很小，這就導致?x很大，于是即使全部氦原子都處在基態（這對應于絕對零度），這些氦原子的波函數都會彌散在大于勢阱的區域上，從而無法形成固體。這就是在大氣壓力下無論溫度多低，液氦都無法凝固的定性原因。如果加大壓力，使得氦原子更緊密地接觸在一起，這樣就能增大勢阱的深度，從而加大u''(x0)的值，這樣就有望讓液氦在足夠低的溫度下變成固體。
據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。
諧振子模型的應用：液氦
諧振子的物理圖像與測不準關系
諧振子的激發態波函數