牛頓力學在17世紀就已經發展得相當成熟了，但為什么在18世紀，科學家們又建立起了另一套拉格朗日力學？ 9月29日12時，《張朝陽的物理課》第一百七十七期開播，搜狐創始人、董事局主席兼首席執行官、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，從光學的費馬原理類比出發，說明自然界存在對某個作用量取變分極值的偏好，接著構建起拉格朗日力學體系，并舉例說明拉格朗日力學的簡便之處。
從費馬原理重新審視牛頓運動方程
在正式介紹拉格朗日力學前，張朝陽先帶大家回顧了牛頓力學是如何處理問題的。在牛頓力學中，需要先對物體做受力分析，這些力的合力會反映到物體的加速度上，加速度a是速度v的變化率，速度v是位置矢量x的變化率。舉一個簡單的例子，重物在重力作用下自由落體。
為簡單起見，只考慮豎直方向的坐標，取豎直向下為正方向建立x軸，這樣就可以把物體在t時刻的位置記為一個坐標x(t)，在上面加一點表示坐標對時間求一階導，得到速度v，再加一個點是求二階導，得到加速度a
用牛頓第二定律可以列出
很容易解出自由落體的運動方程為
以上是由牛頓定理解出來的運動方程，它是x關于t的二次函數，畫在x-t圖中是一條拋物線。
但不妨再大膽地想想，假設現在不知道運動方程是怎么樣的，或者說，假設在另一個星球上滿足另一條物理規律，那么它的路線很可能不再是t的平方，而是t的一次方或者三次方。從起點①到終點②，有很多種可能的路線（圖中紅線），它與黑線差△x(t)。由于路線不再由牛頓定律確定，運動方程只能寫成關于t的未知的函數
在這樣的情況下，有沒有可能找到另外一個條件，從這個新的出發點出發，能重新推導出牛頓定律呢？
回顧先前電動力學課上講過的“分層理念”。可以把電磁學量分成三層，第一層是電勢和磁矢勢，第二層是電磁場，可以由第一層求時空偏導得到，第三層是電磁場的散度和旋度，與電荷和電流直接相關。麥克斯韋方程組可以用第二層和第三層的量來描述，也可以把第二層的量換成第一層來得到更緊湊的形式。類似地，力學中應該也可以找到x和v背后更底層的量，把牛頓定律寫成另一種形式。在這種思想的啟發下，假設有一個標量函數F，它與x和v有關
這個函數對時間的積分會出來一個數
這樣寫相當于輸入一個路線函數x(t)，它會通過被積函數F輸出一個數S，這是從函數x(t)到數S的映射，稱為泛函。
之所以想到構造這樣一個泛函，是因為在17世紀，光學領域已經提出了光的費馬原理。費馬告訴大家，設定光出發的起點和抵達的終點，兩點之間有很多可能的路徑可以相連，那么光所走的真實路徑一定是用時最短的那條，或者說，用時一定取在一個極值。用這個原理可以把光在均勻介質中沿直線傳播、光的反射和折射規律都涵蓋進去。
光所走的用時是對路徑求積分得出的一個泛函。路徑是一個函數，對它輸入自變量坐標它會輸出因變量坐標，是數到數的映射。而用時是一個泛函，對它輸入一個路徑函數它會輸出一個時間，是函數到數的映射。
如果把每一條可能的路徑看做函數空間中的一個點，泛函就是輸入一個函數空間中的點并輸出一個數。光所走的真實路徑位于泛函取極值的地方，它的一階變分為0，意思是說，把給泛函的輸入，從代表光所走的真實路徑的點稍作偏移，也即把路徑稍微移動一小段，泛函所輸出的數值將幾乎不變。這和函數取極值時一階導為0是一樣的，這樣的點稱為駐點（stationary point），光所走的實際路徑也稱為stationary path。
類比光的費馬原理，有沒有可能在力學中也構造一個標量函數F，使得物體在按真實運動方程運動時，輸出的數S也取為極值呢？
從變分取極值推導運動方程，并用函數空間理解駐點
有了想法，就可以開始數學推導了。對路線x(t)做變分，變為x(t)+△x(t)后，F會相應地變為F+△F，S也會變為S+△S。這里只關注變化量，寫出S的一階變分為
雖然路線x(t)和速度v(t)作為時間的函數是有關聯的，但F作為x和v的二元函數，對它們的依賴關系是獨立的。所以在考察F的變分時，應該先假設摁住速度v不動，考慮△x的貢獻，再摁住x不動，考慮△v的貢獻
在第二項對速度的變分中，可以把變分和對時間求導的順序做一個交換
代回對F的變分式，并將第二項湊成全微分的形式
交換第二項和第三項的位置，把和△x線性相關的項放在一起，再代回對S的變分式
上式寫成了兩項，第二項是一個全微分，很容易積出結果。因為在對路線x的變分中已經固定了起點和終點，
所以對第二項積分后得到的變化量是0。另一方面，這里要尋找的F的函數形式是使得S在實際運動方程上取極值，或者說，它的一階變分取0，是一個在輸入函數x的函數空間中的駐點，這要求無論△x如何選擇，第一項的結果也依然是0。所以方括號中的被積函數必須取為0，
至此，張朝陽從數學上推出了一個泛函S取極值時，它的被積函數F應該與路線x和速度v具有何種關系。雖然x和v作為t的函數是相互依賴的，但F對x和v的函數關系是獨立的，在考慮F如何構造時，可以用正交的x軸和v軸代表所有可能路線的函數空間。
每個路線通過被積函數F對應一個泛函S，它能畫成函數空間中的一個曲面。但這個面是冗余的，在這個面上，只有v是x對時間求一階導的點才對應有意義的路線。在這些有意義的函數點所連成的線上做一階變分，變分為0的駐點對應的路線函數就應該是物體的真實路線，這些點就好像“山谷”、“山脊”或者“鞍點”，而“山坡”所對應的點就不是物體的真實路線。
有讀者會注意到目前只要求了一階變分為0，它對應的是取極值的駐點，但并不能判斷它是極小、極大還是一個鞍點，為什么會叫它“最小作用量原理”呢？這其實是一個習慣的叫法，更嚴格的叫法應該是平穩作用量原理（principle of stationary action）。在大部分情況下，構造出來的F在實際運動路線下確實取的是泛函極小值，它的二階變分大于0，是一個位于山谷的凹點。
構造拉格朗日量和作用量，建立拉格朗日力學
那么被積函數F在什么樣的函數形式下，求出來的駐點對應的路線正好是牛頓第二定律呢？在不考慮非保守力（比如摩擦力或洛倫茲力）的情況下，拉格朗日給出的結果是，被積函數F等于動能T減去勢能V，這稱為拉格朗日量
拉格朗日量對時間的積分S也被正式命名為作用量。剛剛得到的關于變分取極值的方程也正式變成了歐拉-拉格朗日方程
上面的拉格朗日量是動能和勢能的函數，確實很像電動力學中第一層的電勢和磁矢勢。張朝陽再次以自由落體舉例。在這里，重物的動能為
重力勢能為
所以拉格朗日量為
代入歐拉-拉格朗日方程
得到的運動方程正好和牛頓的運動定律一致
再來考慮另一個例子。有一物體套在滑桿上，它在重力的作用下往下滑。桿子的形狀并不規則，在笛卡爾坐標系中需要兩個直角坐標來表述。但是因為物體被約束在了桿子上，它只有1個自由度，所以可以只用一個坐標來描述它的運動。
設物體的初始位置為坐標原點，取沿桿走過的長度l(t)作為描述物體運動的坐標，每一個l對應一個高度h(l)，它的拉格朗日量是
代入歐拉-拉格朗日方程
得到
這也和牛頓定律是一致的。因為在滑桿上，傾斜角的正弦值sinθ就是高度關于沿桿長度的變化率dh/dl，而通過力的矢量分解，重力沿桿方向的分量正是重力乘以傾斜角的正弦值，所以上式其實是物體在物體沿桿方向上牛頓第二定律。而在垂直于桿的方向上，物體的重力分量和桿的支持力相互抵消，物體被牢牢地約束住了，沒有運動自由度。
在歐拉-拉格朗日方程中，通過對拉格朗日量做微分，可以得到牛頓力學里的加速度和力。反過來，也可以對牛頓運動方程做積分，來看看它能否回到拉格朗日力學的動能和勢能。令上式兩邊對運動路線求積分，左邊得到
第二個等號中把積分變量替換成了dt，第三個等號又替換成了dv，積出來的正是動能。對右邊積分得到
它正是重力勢能的減少量。把兩邊放在一起看，不難發現它就是機械能守恒
通過這個不規則形狀的桿的例子，可以發現拉格朗日力學天然地把運動約束考慮進了坐標里，它不一定是笛卡爾的直角坐標，也不一定是極坐標或者球坐標，只要能找到合適的廣義坐標，就能有效地用運動約束減少微分方程的數量。一個自由度可以用一個廣義坐標和廣義速度來描述，如果有n個運動自由度，拉格朗日量就是關于n個廣義坐標和n個廣義速度的標量函數
它關于這n組廣義坐標和速度，有n個歐拉-拉格朗日方程
另一方面，相比于牛頓力學，拉格朗日力學只用考慮拉格朗日量一個標量，而不涉及對力的矢量分析。雖然牛頓力學更形象直觀，但在某些受力情況復雜的體系中，拉格朗日力學能更方便地得出物體運動所滿足的微分方程。后來的量子力學和量子場論也借鑒了其中的很多概念。
據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。