什么是“格波”？什么是“聲子”？如何量子化一個一維諧振子鏈并求解其能譜？7月23日12時，《張朝陽的物理課》第一百六十期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先帶大家復習了如何利用格點傅里葉變換，將一維經典諧振子的振蕩分解為若干個獨立運動的諧振子的疊加。整體來看，鏈上各諧振子的集體振蕩可以視為鏈上的波動，稱為“格波”，而這種分解即對應將該波動按簡正模式展開。
其后，張朝陽發現，可以借鑒同樣的思路來處理一維量子諧振子鏈。引入算符的格點傅里葉變換后，他成功地在“k空間”將哈密頓量算符重寫為若干個不同頻率的諧振子的哈密頓量算符之和。對給定頻率的諧振子，我們總能相應地定義其升降算符，它們的作用結果是引起一個單位能量的增減，由此帶來“聲子”產生和湮滅這一物理圖像。在固體物理和凝聚態物理中，“聲子”即對應晶格的某個集體激發模式。
一維諧振子鏈上的經典格波
從一、到二、到無窮，在上節課程中，張朝陽仔細討論了等間距排列在 x 軸上的無窮多個經典諧振子體系（如圖）的動力學行為。
這樣一個體系又被稱為一個經典諧振子鏈，或者是一個格點（Lattice）諧振子體系。如果體系保持靜止時，鏈上的每一個諧振子將靜止在它的平衡點 x = ql 處，其中 l 為格點間間距， q 為任意整數，可以作為鏈上各諧振子的標記。如果在某一時刻受到擾動，鏈上的諧振子可能會偏移平衡點一段距離，這個距離可以統一地記為
為了書寫簡便，在不引起混淆時，下面討論中我們一般也將其簡記為
暫時地忽視其對時間的依賴關系。
一維諧振子鏈動力學即是研究這樣一個二元函數隨時間的演化行為。在牛頓力學的框架下，以第 q 個諧振子會同時受到一個將其束縛在平衡點附近的向心力，以及相鄰格點 （q ± 1）上兩諧振子對它的張力。在諧振子鏈的模型中，它們都具有彈力的形式
再利用牛頓第二定律即可相應地給出鏈上各諧振子的運動方程。乍看之下，這樣一個體系的動力學方程似乎過于復雜甚至于是不可解的。但張朝陽指出，對二體諧振子和弦振動的討論給予了我們很好的啟發：前者告訴我們可以通過組合變量將耦合的諧振子分解為若干個自由的諧振子；而后者告訴我們傅里葉分析是模式分解常用的數學工具。
于是仿照波動力學中的傅里葉分解
取第一個變量為離散化的坐標，有
稱之為格點傅里葉變換。值得注意的是，在格點傅里葉變換中，積分區域并不能取到整個實軸，而是被固定在一個有限長度的區間內。這是因為當 q 取為整數，而兩個參數 k 和 k' 的取值滿足
時，對應指數部分取值相同，即其代表的事實上是同一個波形。于是，為了在分解中不重復計數，我們將參數取值限定到 k 的一個周期之內，不妨取為
即得到相應的積分區域。同時，可以考慮取格點上的逆傅里葉變換，有
具體的計算過程在上一節過程中已經展開過詳細的討論，這里不再贅述。張朝陽強調，其關鍵在于利用求和關系
在下面的討論中，我們也將反復地、但暫不加證明地用到這一關系，以化簡我們所得的結果。
將格點傅里葉展開代入運動方程中，不難發現傅里葉變換將諧振子鏈的集體振蕩分解為了若干個自由振蕩模式。其中每個自由振蕩模式將滿足一個經典諧振子方程，對應振蕩頻率
依賴于參數 k，又稱其為色散關系。在色散關系中，我們也可以注意到參數 k 取值的周期關系，這與前面的分析是一致的。如果從關注單一諧振子的運動轉向關注諧振子鏈的集體行為，不難發現每一模式都對應形成一個沿鏈條傳播的類正弦波動，而其疊加的結果
也可以被解釋為是某一在鏈條上傳播的波，習慣上稱之為“格波”，即“在格點上的波動”，以區分在譬如一根弦或者空氣水體等連續介質上的波動現象。對格波可以作這樣的想象，如圖，獨立地看時格點上每一點都在各自偏離平衡位置（紅色圈）上下運動，而從整個鏈條的角度——如果用一條虛線將這些點連起來——它們即形成一個波。
特別地，如果各點上振動的頻率保持一致時，整個鏈條上觀察到的波動應該具有類正弦波的波形，此即我們所分解出的某一簡正模式。
一維諧振子鏈的量子化及模式分解
對經典的諧振子鏈作了充分的討論后，張朝陽轉而關心如果鏈條上每一點處所放置的不是一個經典的諧振子，而是量子的諧振子時，整個體系又該如何運動和演化呢？著手處理一個量子體系時，我們一般的思路是先問其經典哈密頓量是什么，再選擇合適的自由度將其算符化。
首先討論一個一維諧振子鏈對應的哈密頓量。先看勢能部分，仍然取偏移量 u(q,t) 為自由度，發生偏移時，整個鏈條具有勢能
這里張朝陽提醒與上一節課中，鏈條中某一諧振子自身所感受到的勢場
進行對比與區分。從整個鏈條的角度，相鄰諧振子間的作用是相互的，它們之間只貢獻一個相應的勢能，不應該重復計算。作量子化時，需要將對應的自由度取為算符
為了后面計算簡便，我們對出現平方項改寫為
于是有勢能算符
對經典諧振子鏈的討論啟發我們，應該考慮對偏移量作傅里葉變換，以期尋找到獨立的集體激發的簡正模式。類比經典諧振子鏈，對算符取格點傅里葉變換后有
或者其逆形式
注意到，不同于 u，此時在“ k 空間”上定義的函數 ξ 應該是個復函數。在不引起混淆時，下面討論中我們同樣簡記
將傅里葉展開 (3) 代入勢能中的第一項，有
再利用恒等關系 (1) ，可以得到
而利用
可以類似地將勢能算符中的第二項改寫為
于是，整個勢能算符可以表達為
另一方面，完整的哈密頓量還應當包括動能部分。在“ q 空間”上，粒子動量地定義為
在“ k 空間”上，函數 ξ(k, t) 本身仍有長度（或者說坐標）的量綱，而傅里葉變換不涉及時間變量 t，所以自然地， ξ 的共軛動量應當取為
事實上，利用傅里葉展開式 (3) 不難驗證其正確性。于是，動能項可以表達為
具體計算過程是類似與對勢能項的分析，其中再一次用到了 u 的格點傅里葉展開，以及恒等關系 (1)，這里不再贅述。至此，可以把總的哈密頓量表達為
注意到，可以認為對給定每個參數 k，都有一組相應的、獨立的哈密頓量（密度）h(k)。
同時，在量子力學中，我們還要討論算符的對易關系。我們知道，在量子化的過程中，坐標和動量應當滿足正則對易關系
利用該對應關系和逆格點傅里葉展開 (4)，不難證明有
最后一個對應關系提出，當且僅當 k 與 k' 一致時，“坐標” ξ 與對應的“動量” π 不對易，且正則對易結果正比于 i?。這樣一個對易關系，與相應的哈密頓量（密度）h(k) 的定義一齊提示我們，類似于經典諧振子的情形，一維量子諧振子鏈的哈密頓量也可以被分解為若干個以參數 k 標記的，獨立振動的諧振子的疊加。每個獨立諧振子分量有獨立的振蕩頻率，或者說能級間隔，由色散關系 (2) 給出。回憶對單個諧振子的量子化，可以預期對每個給定的 k 模式，我們都可以通過組合 ξ 與 π 定義相應的升降算符，且預期可以給出相應的能譜
升降算符作用到某個態上，會在體系中提高或者減去一量子化的能量。類比光量子化，這樣一個圖景我們稱之為升降算符產生或者湮滅一個能量為 ?Ω_k 的聲子。在固體物理或者凝聚態物理中，它可以用于描述晶格的振動模式或者說集體激發。相似的圖像更可以被擴展到對自然界基本粒子的描述中，在我們建立認知和描述物質極其相互作用的理論中起到了舉足輕重的作用，并帶來了一系列的認知革命。
據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。