怎么求二能級系統的能量本征態？《張朝陽的物理課》介紹二能級系統

2023-05-30 16:10:26談影

導讀原標題：怎么求二能級系統的能量本征態？《張朝陽的物理課》介紹二能級系統一般的二階厄密矩陣能被對角化嗎？怎么求二能級系統的能量本征態...

一般的二階厄密矩陣能被對角化嗎？怎么求二能級系統的能量本征態與能量本征值？5月28日12時，《張朝陽的物理課》第一百四十六期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先簡短地給網友們復習了上一次直播課的內容，然后從自旋子系統推廣到了一般的二能級系統，并將一般的二維哈密頓矩陣參數化成與自旋算符有關的形式，最后借助任意方向的自旋本征態及本征值成功得到了哈密頓算符的本征態與本征值。

在能量本征態下分析二能級系統的哈密頓算符

在上一次物理直播課中，張朝陽介紹了自旋在磁場中的演化。當磁場指向z軸正方向時，哈密頓算符可以寫為

其中ω0是與拉莫爾進動有關的角頻率，具體定義可參考上一次直播課，算符σ_z正比于自旋算符的z分量Sz，它在|±〉為基矢的情況下的矩陣形式就是z方向的泡利矩陣。此時的能量本征態為|±〉，滿足

容易知道[H,σ_z]=0，所以哈密頓算符與σ_z具有共同本征態，哈密頓算符在基矢|±?下是對角化的。

如果磁場不是指向z方向的，而是指向任意方向，方向向量由n表示：

其中 i、j、k是三維位置空間中直角坐標系的三個基矢，(θ,?)是球坐標系的角坐標。此時的哈密頓算符為

其中算符σ_n基矢|±?下的矩陣形式為

此時[H,σ_z]≠0，所以H在基矢|±?下不是對角化的。不過由于在之前的物理課中已經求解了σ_n的本征態，由此容易得到哈密頓算符的本征態表達式。

復習完這些知識，張朝陽介紹起二能級系統來。前面介紹的自旋子系統就是一個二能級系統，在其上，哈密頓算符可以表示成二階厄密矩陣，哈密頓算符只有兩個本征態及對應的兩個本征值。

除了自旋系統，很多自然界真實存在的系統在只考慮其中兩個能級的演化時都可以看作是二能級系統，比如在系統能量只夠原子在鄰近的兩個能級之間演化時，此原子就可以簡化成一個二能級系統。

張朝陽先考慮了一個一般的二能級系統，設其哈密頓算符為H0，它具有兩個能量本征態，分別為|ψ1〉與|ψ2〉，對應的能量為E1與E2，因此有

可見，在|ψ1?與|ψ2?的表象下（也就是在|ψ1?與|ψ2?作為基矢的情況下）有

如果定義

那么哈密頓算符的矩陣形式可以改寫為

其中I是單位矩陣對應的算符，也就是恒等算符。可見，在能量本征態作為基矢的情況下，哈密頓算符可以寫成單位矩陣與z方向的泡利矩陣的線性組合。

哈密頓算符H0對一般的態的作用為

寫成矩陣形式就是

如果使用哈密頓算符關于單位矩陣與σ_z的線性組合形式的話，上式可以改寫為

從上面兩式可以得到

當然，這個關系也可以從Em與?的定義反推出來。

考慮擾動項求解能量本征態

介紹完在能量本征態作為基矢的情況下哈密頓算符的表示，張朝陽開始介紹更一般的情況。為此，張朝陽假設系統在H0的基礎上存在一個擾動項W，總的哈密頓算符為H=H0+W。使用前面的符號約定，|ψ1〉與|ψ2〉是H0的本征態，但是它們不一定是H的本征態。如果要解決整個體系的態的演化問題，就需要求解出H的本征態來。

由于|ψ1〉與|ψ2〉被假設成已知的，因此可以使用它們作為基矢。H0的矩陣形式在前面介紹了，現在還需要知道W的矩陣形式。由于目前的系統的態空間是二維的，所以W|ψ1〉可以表示成|ψ1〉與|ψ2〉的線性組合，W|ψ2〉也可以表示成|ψ1〉與|ψ2〉的線性組合，所以有

其中各個W_ij} (i,j=1,2)是線性組合的系數。因此，對于一般的態，有

上式可以寫成如下的矩陣形式：

由此可以得到W在基矢|ψ1〉、|ψ2〉下的矩陣形式為

不過，各個W_ij} (i,j=1,2)不是任意取值的。根據量子力學的基本原理，算符W應該是一個厄密算符，它滿足

因此有

換言之W的矩陣表示中，兩個對角元都是實數，而兩個非對角元互為共軛復數。

得到W的矩陣形式之后，就容易寫出H的矩陣形式了：

仿照H0時的處理方法，定義

那么H的矩陣形式可以改寫為

將H表示成這樣有什么好處呢？張朝陽提示網友們說，可以找到一組數(η,θ,?)使得上式最右邊的矩陣表示為

其中n表示(θ,?)方向。上面兩式表明，選取適當的方向n，二能級系統的哈密頓算符可以表示成恒等算符與σ_n的線性組合。于是，二能級系統的演化問題在除了一個總的能量偏移之外，可以等價成自旋系統在磁場中的演化問題。