如何描述一個勻速向前運動的微觀粒子？量子力學的物質波與經典力學的聲波和光波有什么不同？波包的速度可以超越光速嗎？
對勻速向前傳播粒子的描述
的一般解，然后討論了一個束縛在一點的狄拉克δ粒子和一個用高斯波包描述的粒子隨時間的演化。
上一節直播課中，張朝陽分析到，初始時刻在坐標空間（x空間）中的一個高斯分布：
對應到動量空間（k空間）中仍然是一個高斯分布：
此時，可以驗證海森堡不確定性原理：
此后，隨著時間推移，粒子在k空間中的分布會保持不變，但是在x空間中的分布會逐漸變得寬且平。同時，我們無法再讓不確定性原理取得等號，而是逐漸變大：
嗎？答案是否定的。令這個波包分別對時間求一階偏導數和對空間求二階偏導數：
也許可以描述一個平移的過程，但并不能體現出波函數的彌散現象。
那么該如何描述一個向前傳播的波包呢？讓我們首先重新回顧自由粒子薛定諤方程一般解的形式：
注意在這里φ(k)是k空間上的任意分布，而不是局限于高斯分布。在這里，張朝陽試圖探討最一般的表達形式，它將比人為構造的模型更為真實，結論也更為可信。如果記：
波函數又可以寫為：
其中v刻畫了波的傳播速度。將一個單色波：
代入方程中，可以得到：
也即是：
由傅里葉變換的定義不難看出：
所以在經典力學中，一個初始時刻波形為f(x)的波包，在t > 0時的分布可以直接通過取替換：
對波包運動的描述：相速度和群速度
現在讓我們再一次忘掉高斯波包，考慮最一般的情況：
是一個向前傳播的正弦波波包，它的速度是：
兩邊對時間t求全導數，應該有：
得到點或者小球的前進速度：
于是又能得到：
如果ψ描述一個量子力學中的物質波，注意它只有概率密度：
才是有物理意義的。這里g是一個關于x-ω't的實函數，也是一個傳播的幅度。同樣的邏輯，我們可以得到它的群速度是：
代入薛定諤方程給出的色散關系：
能夠計算出群速度為：
和粒子的經典運動速度恰好保持一致。而對應的相速度：
波包的速度可以超光速嗎？
如果對于一個相對論性的微觀粒子，愛因斯坦給出質能關系：
這里m_0指粒子的靜止質量，這個關系一般又被稱為相對論性色散關系。如果在左邊對p取微擾，右邊對E取微擾，可以得到：
整理后即：
當微擾非常小時：
進一步，注意到：
其中m指代“動質量”，v指代粒子運動速度，有：
而另一方面，粒子的相速度：
它將比光速更大！這會違反相對論嗎？張朝陽評述道，這里要注意區分兩種速度的不同意義。相速度只是波函數上某點自身的前進速度，表征的是一個相位的偏移，不能傳遞任何真實的信息。而群速度則相反，他直接與波包和外部相互作用相關，傳遞著物理的、真實的信息，它才對應著物理意義上的波包行進速度。通過計算，可以發現它將保持小于光速，并不會違反相對論光速最大原理。
（張朝陽推導相對論性波包的群速度與相速度）
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本節課相關視頻如下：
薛定諤方程的行波解
相速度與群速度的物理意義
薛定諤方程的色散關系