可以借助球面波得到中心勢場散射過程的散射截面嗎？平面波怎么按球諧函數進行展開？
回顧散射定態的漸近形式 求解平面波的球諧展開
課程一開始，張朝陽給網友們復習了上一次直播課介紹的內容。在分析散射問題時，考慮了具有確定能量的散射定態，并得到了如下形式的定態方程：
其中k與能量E的關系為
式中的m是粒子質量。
在考慮了向z軸正方向傳播的平面波為入射波、沿徑向向外的球面波為散射波之后，得到了散射定態在無窮遠處的漸近形式：
接著，張朝陽復習了上次直播課介紹的微分散射截面的概念，以及它與g(θ)的關系：
其中拉普拉斯算子為
因此，假如選取自由波函數的特解為f(r)Y_l,0}(θ)，將其代入定態方程可知f(r)滿足的方程為
上式可以化簡為
如果令ρ=kr，那么這個方程可以改寫為
根據這里求出來的特解，e^ikz}可以展開為
由于球諧函數滿足正交關系：
所以
借助這個結果可以將系數c_l求出來。為了避免陷入繁瑣的數學計算，張朝陽直接引用了結果
于是有
這就是平面波按角動量本征態展開的結果。
推導球貝塞爾函數的漸近形式 分析自由情況下的相位偏移
根據上一次直播課的結果，散射波的漸近形式由e^ikr}/r表征，因此，為了更好地進行對比，考慮j_l(kr)在無窮遠處的漸近情況。根據j_l(ρ)的表達式，有
正弦函數的一階導數為
借助下圖中的幾何關系
得到cos(ρ)=-sin(ρ-π/2)，于是有
多次使用這個結果，可以得到
于是，當r足夠大時，有
是沿徑向朝原點傳播的球面波，而
求解中心勢場下的無窮遠漸近解 分析相位偏移得到散射截面
前面介紹到有勢場時的定態方程為
這個方程可以用分離變量法來求解，借助旋轉對稱性，可以知道ψ_k的角向部分由Y_l,0}構成。當r足夠大時，徑向部分的解為
于是可以將B_l/A_l參數化為
這樣就有
由于散射定態的漸近形式必須包含平面波e^ikz}，借助e^ikz}的球諧展開式，可以把散射定態的球諧展開式的系數確定下來，最終得到
考慮到
由此可以得到當r足夠大時，有
于是可以得到
總的散射截面為
考慮到球諧函數的正交關系：
于是可以得到
這就是用相移表示的總的散射截面。
（張朝陽得到用相移表示的散射截面公式）
據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。