加利福尼亞大學圣塔芭芭拉分校教授張益唐。 （視覺中國/圖）
2022年11月5日，加利福尼亞大學圣塔芭芭拉分校教授、華人數學家張益唐在預印本網站（arXiv）上發布了一篇題為《離散平均估計與朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）的，共計110頁的論文。這篇論文正是上個月張益唐在一次在線座談活動中提到的，證明了朗道-西格爾零點猜想的工作。
如果這篇論文最終被驗證是正確的，那么這將是近年來關于黎曼猜想相關問題的最大突破。雖然驗證這項工作的正確性還需要比較長的一段時間，但是在這里，我們可以先簡單地介紹一下朗道-西格爾零點猜想和黎曼猜想這一希爾伯特二十三問題和千禧年大獎難題雙料難題的關系，同時也簡單介紹一下張益唐所做的工作。
黎曼猜想與廣義黎曼猜想
自人類文明誕生之初起，出于統計物品數量和丈量土地的需要，對數字和圖形的計算便從未停止過。早期的數學就發端于這些日常活動。而對數字和圖形的研究，則逐漸發展成為了數論和幾何，這兩個最為古老，也最為重要的數學分支。以至于在一百多年前，恩格斯都會在《自然辯證法》中寫道：“數學是研究數量關系和空間形式的學科。”時至今日，即使數學相較于恩格斯寫下那段話的時候，已經有了長足的發展，也出現了許多全新的數學分支。但是數論，這一專門研究整數的數學分支，仍然是最為純粹，也最為重要的數學分支之一。“數學王子”高斯就曾經說過：“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。”
而在數論的研究對象，整數，或者說自然數當中，有一類極為特殊的數，素數。也即像2、3、5、7、11……這樣，僅能被1和它自身整除的數。因為素數本身的獨特性，很多數論當中極為困難的猜想都和素數有關。例如哥德巴赫猜想，孿生素數猜想等等等等。
黎曼猜想，就是一個關于素數整體規律的猜想。同時，它也是數論當中最為困難，也最為重要的未解難題之一。
這一猜想由德國數學家伯恩哈德·黎曼在1859年提出。那一年黎曼當選了柏林科學院通訊院士。作為對這一榮譽的回應，他向柏林科學院提交了一篇題為《論小于給定數值的素數個數》的論文，日后被稱為黎曼猜想的問題，就出自這篇論文。
在這篇論文中，黎曼定義了一個日后被稱作“黎曼ζ（讀作澤塔）函數” 的復值函數， 并用這個函數去研究素數的規律：
而在那篇論文中，黎曼還提到了一個他不知道怎么解決的問題：他猜測，黎曼ζ函數的所有非平凡零點，都在實部為1/2的這條直線上。并且這些非平凡的零點和素數分布的詳細規律密切相關。這里之所以要強調非平凡零點，是因為諸如-2，-4，-6等等等等，所有的負偶數，都是黎曼ζ函數的零點，而這些零點是顯而易見的，因此被稱作平凡零點。除此之外的零點才是有研究意義的，它們則被稱作是非平凡零點。
這就是此后困擾數學家們一百六十多年的黎曼猜想。
很容易就會發現，雖然都是數論中與素數有關的猜想，但是黎曼猜想在表述上和哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等有著很大的不同。相較于“任意大于2的偶數都可以寫作兩個素數的和”“有無窮多對相鄰的素數對”這樣簡單直白的問題描述，黎曼猜想在表述上顯得復雜得多。先是定義了一個很復雜的函數，然后對這個函數的零點提出了一個不那么容易理解的結論。而且不僅是表述上的復雜，就連想要找到一個符合條件的零點都不是一件容易的事情。
造成這種區別的原因在于，不同于哥德巴赫猜想或者孿生素數猜想這樣，“自然而然”地來自素數本身的猜想，黎曼猜想要復雜得多。它提問的對象不是對素數本身，而是研究素數的“高級工具”：黎曼ζ函數。這種差別，不僅導致了黎曼猜想本身表述上的復雜，還使得黎曼猜想相較于其他的很多數論中的猜想，顯得更為重要。
一方面，證明了黎曼猜想，就意味著數學家們對素數的分布規律有了更為深刻的認識。另外一方面，黎曼ζ函數本身就是一個極為強大的數學工具。證明了黎曼猜想，則意味著對于這一強有力的工具更好地理解，因此也就能夠利用它去解決更多的數學問題。實際上，據不完全統計，現在已經有上千條數學命題是以黎曼猜想及其推廣形式的正確性為前提得出的。也就是說，如果證明了黎曼猜想及其推廣形式，也就同時證明了上千條數學定理。
正因為黎曼猜想如此的重要，一百六十余年來，有許許多多的數學家一直在嘗試著去證明黎曼猜想。相比起其他的數學猜想（conjecture），黎曼猜想甚至有一個專屬的稱謂，叫做“黎曼假設”（Riemann hypothesis）。
但是遺憾的是，過去了一百六十余年，雖然數學家們在黎曼猜想上取得了一系列的“階段性成果”。比如證明了所有黎曼ζ函數的非平凡零點都“緊貼”在x=1/2這條直線不遠的地方；而且證明了超過40%的非平凡零點就在這條直線上。借助計算機，數學家們更是驗證了黎曼ζ函數的超過十萬億個非平凡零點，它們全都像黎曼猜想所預測的那樣，無一例外地落在x=1/2這條直線上。但是這些“階段性成果”，距離真正的證明黎曼猜想，還是遙遙無期。甚至在現在的數學界，都沒有數學家能夠提出一個讓人認可的，可以對證明黎曼猜想行之有效的思路或者是策略。
而這種思路或者策略的提出，對于大的數學猜想的證明，在很多時候是至關重要的。比如費馬大定理的證明，最早就是在1980年代，由德國數學家格哈德·弗雷提出的證明思路。他指出，如果費馬大定理不成立，那么借由橢圓曲線和模形式的相關理論，就會得到谷山-志村猜想的一個反例。也就是說，如果能夠證明谷山-志村猜想，也就證明了費馬大定理。最終，在格哈德·弗雷提出這一思路的十幾年之后，安德魯·懷爾斯在1995年證明了谷山-志村猜想的一種特殊情況，并由此證明了費馬大定理。
對于一個沒有明確思路和方法的數學問題，除了直面問題之外，數學家們在更多的時候會采取各種方法，去嘗試“迂回”地解決問題。具體到黎曼猜想上，有的數學家會嘗試先去解決一些和原始的黎曼猜想具有相似性的“山寨版”的黎曼猜想。希望能夠借助這種“他山之石可以攻玉”的做法，從這些“山寨版”的猜想中獲得解決黎曼猜想的方法和思路。這些嘗試本身，也產生了許多非常重要的工作。例如比利時數學家皮埃爾·德利涅在1978年獲得菲爾茲獎的原因，很大一部分就是因為他對有限域上的黎曼猜想所做的突破性的工作。
除了這種先解決“山寨版”的做法之外，還有的數學家會嘗試放寬黎曼猜想的條件，在更加一般的情況下考慮問題。這看起來或許有些難以理解，本身黎曼猜想就已經如此困難了，再放寬條件的話，豈不是更加地難上加難？
實際上，這種處理問題的方式，在數學研究中并不少見。這是因為有的時候，要解決的問題太過于特殊，以至于掩蓋了一些本質的屬性。在這種時候，退后一步，從更一般的情況來看問題，反而有可能更加容易地發現問題的實質。華羅庚就曾經說過：“善于‘退’，足夠的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅。”
廣義黎曼猜想，就是在這種思路下提出的一個更加一般化的黎曼猜想。在這里，我們考慮的不再是黎曼ζ函數的非平凡零點，而是取這樣的一個L-函數的非平凡零點：
和“正版”的黎曼猜想一樣，廣義黎曼猜想同樣猜測，L-函數的所有非平凡零點，都在實部為1/2的這條直線上。
這里，χ(讀作開)，是一個關于整數的函數。可以發現，當所有的χ都等于1的時候，L函數就變成了最開始的黎曼ζ函數。因此，廣義黎曼猜想自然地就包含了“正版”的黎曼猜想。也就是說，只要證明了廣義黎曼猜想，也就證明了黎曼猜想。
不僅如此，當χ這個函數選取為一些特殊的形式時，L-函數可以用來研究一些黎曼ζ函數無法研究的問題。也就是說，作為數學工具，L-函數比黎曼ζ函數要更加地“有用”。從這個角度來說，廣義黎曼猜想本身也有著很大的研究價值。
廣義黎曼猜想與朗道-西格爾零點猜想
雖然L-函數在形式上比黎曼ζ函數復雜得多，但是在很多地方，L-函數卻呈現出了和黎曼ζ函數相似的性質。而且，作為廣義黎曼猜想的研究對象，數學家們也希望能夠復刻那些在“正版”黎曼猜想上已經取得的“階段性成果”。
正如前文所說，對于黎曼猜想，一個很早就得到證明的結論是：所有黎曼ζ函數的非平凡零點都“緊貼”在x=1/2這條直線不遠的地方。因此，數學家們自然希望，能夠對L-函數也得到類似的結果。而對于L-函數來說，一個很“容易”證明的結論就是，所有的非平凡零點，都在實部大于零小于一的這一個無限長的矩形區域內。但是，當數學家們想要進一步地收窄零點的范圍，從而證明L-函數的非平凡零點同樣“緊貼”在x=1/2這條直線不遠的地方的時候，卻出現了意想不到的情況。
因為L-函數本身的復雜性，就使得收窄黎曼ζ函數零點范圍的這個想法，在L-函數這里出現了一個“意外”的情況：在距離x=1非常近的地方，可能會有一個L-函數的非平凡零點。
這里說可能，是因為并不是說真的發現了這樣的一個零點，而是說以現有的研究方法，沒有辦法證明這樣的“例外”零點不存在。反過來講，如果真的找到了這個“例外”的零點，那就可以直接宣布廣義黎曼猜想不成立了。
這個可能存在的“例外”零點，就被稱為朗道-西格爾零點。而所謂的“朗道-西格爾零點猜想”，就是說這個可能存在的“例外”零點，不會出現在非常靠近x=1的地方。
也就是說，提出朗道-西格爾零點猜想的動機，仍然是想要“收窄”非平凡零點的范圍。如果朗道-西格爾零點猜想成立的話，那么在x=1的附近就不會存在L-函數的非平凡零點，這也就意味著，L-函數的非平凡零點的范圍，從實部大于零小于一的矩形區域，向內縮窄了一些。從而廣義黎曼猜想就更有可能是正確的。
相反的，如果朗道-西格爾零點猜想被證明不成立，也就是說在x=1的附近確實存著在這樣的“例外”零點，那么就如前面所說的，可以直接宣布廣義黎曼猜想不成立了。
而對于“正版的”黎曼猜想來說，因為非平凡零點“緊貼”在x=1/2附近這一結論很早就已經證明了，所以并不存在“例外”零點的情況。也就是說，朗道-西格爾零點猜想是只在廣義黎曼猜想里才有意義的問題。
同時，正是因為朗道-西格爾零點猜想對廣義黎曼猜想具有“一票否決權”的強大威力，它也成為了研究廣義黎曼猜想的過程中繞不開的一個重要障礙和目標。
順帶一提，這個猜想之所以被稱為朗道-西格爾零點猜想，是因為埃德蒙德·朗道和卡爾·路德維希·西格爾兩位德國數學家在這個具體問題中做了許多重要的工作。而最初的“收窄”的“正版”黎曼猜想的非平凡零點區域的工作，正是由埃德蒙德·朗道和丹麥數學家哈拉爾德·玻爾共同完成的。另外，哈拉爾德·玻爾的哥哥，則是提出了原子的玻爾模型，并獲得了1922年諾貝爾物理獎的丹麥物理學家尼爾斯·玻爾。
張益唐的突破
張益唐近期發布在arXiv上的那篇110頁的論文，就是對朗道-西格爾零點距離x=1的位置的一個全新的估計。
在原始的朗道-西格爾零點猜想中，要求可能存在的“例外”零點到x=1的距離要大于C1/logD，而張益唐在論文中給出的結果則是，可能存在的“例外”零點到x=1的距離大于 C2/(logD)2024。
可以看到，張益唐得到的結果，和朗道-西格爾零點猜想說的其實是差不多同一件事。也就是這個可能存在的“例外”零點，到x=1的距離不會太近。也就是說，這兩者都是在做“收窄”L-函數的零點的范圍的工作。只不過張益唐給出的結果當中，分母多了一個很大的次數。因為當一個分數的分母越大的時候，分數值是越小的，所以張益唐的結果相較起原始的朗道-西格爾零點猜想所想要的結果，是要相對弱一些的。
既然是弱一些的結果，那么為什么張益唐會在介紹這項工作的時候說“雖然是一個弱一點的形式，但本質上已經是解決了朗道-西格爾零點問題”呢？
這主要是出于兩方面的考量。一方面，雖然張益唐這次得到的結果比朗道-西格爾零點猜想所要求的要弱一些，但是這個結果相較于之前的結果，已經是極大的跨越了。而且張益唐的風格一直是那種大開大合，直取敵首的風格。他的工作，更多的是提供一種做法上的可行性，為了盡快地得到結果，在細節的處理上采取了一種粗放的做法，沒有做到極致。就像之前關于孿生素數猜想的工作一樣，為了處理過程中的方便，張益唐選擇了一個比較大的間距：七千萬，這也就使得那篇文章的結果被叫做“七千萬定理”。而當張益唐展示了這種做法的可行性之后，就有很多的數學家開始沿著張益唐的這個做法，尋找可以改進的地方，最終將七千萬這樣一個巨大的數字，縮小到了246。雖然這個數字距離孿生素數猜想所要求的間距為2仍然相去甚遠，但是仍然是巨大的進步。
而這次也一樣，論文中的2024，以及另外一個指數2022，很明顯不是出于數學上的考慮，而是因為今年恰好是2022年才選取的。以至于網上有一個段子說：“為了改進張益唐的指數，數學家們發明了時間機器。”也正因為此，有理由相信，如果張益唐這次的論文最終被驗證是正確的，這個結果也會像上一次的“七千萬定理”一樣，得到大幅度的改進。而朗道-西格爾零點猜想更多的是一個“定性”的猜想。它想要描述的是L-函數的非平凡零點“緊貼”在x=1/2這條直線附近的這樣一個性質。從這個角度來說，雖然張益唐這次的工作沒有完全證明朗道-西格爾零點猜想，但是在描述這種“緊貼”的情況上，二者只是程度上的差異，而不是本質上的區別。
另外一方面，在本文一開始就提到了，黎曼猜想及其相關內容，除了本身就是極為重要的數學問題之外，更為重要的是，它們還是研究其他數學問題的強有力的工具。在這一點上，朗道-西格爾零點，作為L-函數的一部分，本身也是一個很強的數學工具。有很多數學問題，比如“方便數猜想”等，都會因為朗道-西格爾零點猜想的證明而得到證明。
從作為數學工具的角度來說，張益唐這次的結果，雖然沒有像完整版的朗道-西格爾猜想那么強而有力，但是對很多數學問題已經是足夠用的了。打個比方，如果說需要解決的數學問題是一個巨大的土堆，那么完整版的朗道-西格爾零點猜想就好比是一臺挖掘機，有了它，只需要很短的時間就可以鏟平這座土堆。而張益唐的結果就好比是一把鐵鍬，用它來鏟平整座土堆雖然比較慢，也比較費力，但是在沒有找到挖掘機的時候也是勉強夠用的。
這也就是為什么張益唐會說，在他的突破之后，“一百個猜想都變成定理”。
說了這么多，那么張益唐這次的這篇論文，如果最終被驗證是正確的，它會是什么級別的工作，又有什么樣的意義呢？
要回答這個問題，我們需要搞清楚，張益唐在這篇論文中究竟做了什么。一般來說，大的數學猜想的突破與解決，基本上都會依賴于新的數學理論的發展，或者新的數學工具的完善。比如懷爾斯證明費馬大定理的工作，就依賴于他對橢圓曲線和模形式理論的發展和完善。丘成桐證明卡拉比猜想的工作，則依賴于他將偏微分方程的相關理論用于對流形的研究，從而標志著幾何分析這一數學分支的誕生。而佩雷爾曼證明龐加萊猜想的工作，則主要依賴于他對里奇流這一數學工具所做的突破。
但是張益唐的做法，卻與此不盡相同。
世人都說曾國藩書生帶兵，行軍打仗奉行六字訣——結硬寨、打呆仗。而張益唐在孿生素數猜想和朗道-西格爾零點猜想這兩個大猜想中所做的工作，同樣可以用這六個字來概括。
在張益唐的這兩篇加起來快兩百頁的論文中，幾乎找不到任何“高端”的數學工具，也沒有那種看著像是“神之一手”的奇思妙想。這也正是解析數論這一數學分支的特點。它只需要一些很簡單的數學工具和知識。甚至大部分的內容都不超過數學專業低年級本科生的知識范圍。與之相對的，它要求使用者具有極其扎實的數學基本功與極強的耐心和毅力。只有這樣，才能不厭其煩地去進行復雜繁瑣的計算，嘗試各種可能的函數和數列，直到最終找到那個可以解決問題的鑰匙。用張益唐自己的話來說，這個過程“可以說就像大海撈針，針我沒撈到，但是把海底的地貌搞清楚了。發現我不需要這根針也能達到，我感覺沒有什么東西是不可能的”。
因此，可以說，張益唐的工作，是堅持與信念的結果。正是這份純粹的對數學的堅持和熱愛，才使得張益唐在這個年紀，做出了如此重要的工作。正如張益唐經常引用的那兩句杜甫的詩所說的：“庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關。”
左力