可以證明，(Δx,Δy,Δz)/Δl構成了沿著面元法向的單位矢量n，因此導熱定律也可以寫成
熱流也習慣于用矢量的方式表示為q = -κ?T。
而對于等號左邊，在不考慮介質的空間運動時，依熱力學第一定律，其失去的熱量總等于其內能的降低。因此我們可以寫出
為了方程的簡潔，我們記α = κ/(cρ)，則方程可以簡寫為
這是一個關于溫度場的偏微分方程，也被稱為熱傳導方程。
一維情形的熱傳導
作為一個例子，我們來展示一維情形的熱傳導方程如何處理：
我們假設介質各處的熱導率κ，比熱容c和密度ρ都是均勻的，且不隨時間變化，則α = κ/(cρ)是一個與空間位置和時間無關的常數，也被稱為熱擴散率。我們可以通過分離變量法來處理這樣的方程，它的基本流程如下：我們假設溫度場有著分離變量的形式，即T(t,x) = g(t)h(x)，將此形式代入方程來找到令方程成立的未知函數g,h。整理得到
可以看到，方程左邊只是t的函數，而右邊則只是x的函數。這樣的等式要想成立，只有一種可能性，即等號兩邊為一個相等的常數，記作λ。從而我們能夠得到對應的解：
其中k = √(-λ/α)。完整地求解這樣的偏微分方程需要我們根據邊界條件選擇適當的h(x)的形式以及允許的λ的值，然后根據初始條件來確定剩余的未知系數。通常在恒溫或者絕熱邊界條件下，我們預期經過足夠長的時間之后，介質會達到穩恒狀態并具有確定的溫度，而不會無限制的增長。這要求λ的許可值為負數，而三角函數求兩次導數剛好會出一個負號，這也是我們選擇三角函數形式的h的原因。
我們通過一個具體的情景來展示上面描述的普遍求解流程是如何進行的。考慮一個有限長的導熱桿，其長度為a且左端點置于原點處，即0 ≤ x ≤ a，我們選擇兩端恒定溫度的Dirichlet型邊界條件的情形進行研究。正如上面的分析，普遍的解的形式應當有
式中T∞是一個常數項，它對應于時間足夠長后穩恒狀態的溫度，亦即兩端恒溫熱源的溫度。那么邊界條件就要求后面的三角級數在x = 0和x = a處總是為0。為了滿足這個要求，我們必須要求余弦函數的系數均為0，同時正弦函數中存在ka = nπ，其中n為整數。這樣，邊界條件的存在將方程的可能解約束為
接下來，我們需要通過初始條件來確定系數cn。設初始時的溫度場滿足T(0,x) = f(x)，即應當有
這個形式事實上就是在把函數f(x)展開成為三角級數。利用三角函數的正交性:
以及
我們可以給出系數的表達式
因此我們就能給出這個問題里每一時刻的溫度場
無窮長導熱桿的熱傳導問題
從中可以反解出
那么三角函數形式的解的一般形式就可以寫為
令系數
注意一般的ck不再是實數。
我們現在考慮利用初始條件T(0,x) = f(x)來確定系數ck的值。應當有
等號兩邊乘e-ik'x并對全空間積分，利用Dirac-δ函數的性質：
我們得到
從而可以寫出系數的形式：
代入前面的解的普遍形式，我們有
如果我們定義函數
本節課相關視頻如下：
無限長桿的形式解
解的討論與格林函數計算
利用初始條件求系數