經典諧振子與量子諧振子是怎么對應起來的？耦合在一起的兩個諧振子應該怎么求解？7月16日12時，《張朝陽的物理課》第一百五十八期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先從經典角度求解了一維諧振子，并指出經典簡諧運動對應量子諧振子的某種特殊的疊加態，然后分別從經典、量子兩個角度入手求解了耦合在一起的兩個諧振子的運動，最終得知這樣的耦合系統可以分解成兩個不同頻率的諧振子，分別對應兩種不同的運動模式。
求解經典諧振子 介紹其在量子諧振子中的對應
課程一開始，張朝陽簡要地復習了上一次直播課的內容，然后開始介紹起經典力學中的一維諧振子。假設彈簧的勁度系數是k，連接彈簧的粒子質量為m，平衡位置為坐標原點，那么粒子的勢能為
在牛頓力學中，彈簧作用在粒子上的力等于粒子勢場的負梯度，由于這里是一維問題，因此力為
根據牛頓第二定律，可得粒子的運動方程為
化簡可得
這種形式的方程在以前的物理直播課中已經介紹過很多次了，張朝陽在這次直播課中直接寫下了它的解：
其中，?和A都是常數，?是諧振子的初始相位，A是振幅。由上式容易得到粒子的運動速度為
粒子的總能量等于勢能加上動能，因此，總能量為
可見，在經典情況中，能量E與振幅A與角頻率ω有關。可是，在量子力學中能級是分立的，每個能級對應的是一個定態。而量子力學中的定態，在經典力學中并沒有基礎的對應。經典力學中的“粒子”運動，對應到量子力學中應該是波包的演化。假如波包的初始態是
那么這個波包隨時間的演化為
如果讀者感興趣的話，可以計算得到諧振子的一個特殊的態，這個態對應于高斯波包，其中心位置隨時間的變化恰好等同于經典諧振子隨時間的變化。
分析經典耦合諧振子的運動 分解得到兩種運動模式
考慮完單個諧振子的經典分析之后，張朝陽開始介紹兩個諧振子耦合在一起的模型。他介紹說，這次的物理課主要沿兩個線路進行，一個是經典線路，另一個是量子線路，接下來要介紹的就是耦合諧振子的經典分析。
與單個諧振子的情況一樣，我們也只考慮一維耦合諧振子。假設兩個諧振子的平衡位置分別處在x=a與x=-a處，兩個諧振子的角頻率都是ω，其質量都是m。這兩個諧振子不是互相獨立的，而是存在相互作用的，其相互作用勢正比于兩個粒子的距離平方。于是，可以將系統的總勢能寫為
其中，x1與x2分別是兩個諧振子對應粒子的位置坐標，λ是與相互作用勢有關的系數，在這里我們假設λ>0，不過即使λ小于0，只要λ大于-1/4，下面的分析依然適用。
根據勢能表達式，第一個諧振子對應的粒子受到的力為
同理，可得第二個諧振子對應的粒子所受到的力為
由此可得兩個諧振子的運動方程為
回憶以前我們對二體問題的處理，我們一般可以將二體問題分解成質心運動和相對運動兩部分，因此，在這里我們也可以沿這個思路進行下去，看看能不能簡化問題。質心坐標為
兩粒子的相對位置坐標為
將前面的式(1)與式(2)相加并消去m可得
可見質心運動與相對運動無關，它等同于一個諧振子的運動，它的一般解為
將前面的式(1)減去式(2)，然后消去m，有
將x1-x2寫為x_R，即得
可見相對運動也是與質心運動無關的，因此相對運動與質心運動互相獨立。由于常數函數的導數為0，因此可以將上式改寫為
這個方程的形式同樣是諧振子的運動方程的形式，由此可以解得
其中ω_R為
這一個結果也可以改寫為
由于我們假設了λ>0，因此ω_R>ω，換言之，相對運動以更大的角頻率進行振動。當兩個諧振子都處于平衡位置時，A=B=0，此時有
可見，由于耦合的存在，兩個粒子的平衡位置不再處于x=a或者x=-a處了，而是處在更相互靠近的位置，使得平衡時x_R小于2a。
張朝陽進一步介紹，如果觀看耦合諧振子中單個諧振子的運動，將會發現其運動是很復雜的。但是如果分別考慮其質心運動和相對運動，會發現這兩者都是簡單的簡諧運動。在經典力學中，這樣分解出來的簡諧運動被稱為運動模式。在我們這里的模型中一共有兩個運動模式，其中一個模式是質心運動，代表的是兩個粒子整體的運動，如果僅有這個運動模式存在，那么兩個粒子的相對間隔保持不變，這兩個粒子同步地以角頻率ω作簡諧運動；另一個模式是相對運動，代表的是兩個粒子相對位置隨時間的改變，如果僅有這個運動模式存在，那么這兩個粒子的中心將一直處在坐標原點，兩個粒子以相反的相位、以同樣的角頻率ω_R作簡諧運動。張朝陽還強調，這兩種模式都是集體運動，而非單個粒子自身的運動。
從量子角度求解耦合諧振子得到能級與量子態
如果從量子力學的角度來考慮耦合諧振子，那么就需要從哈密頓量及算符入手。此系統的哈密頓算符為
注意，上式的x1、x2、p1、p2都是算符，為簡單起見，我們省略了其上的hat算符記號。
回憶氫原子問題上的處理，我們將氫原子的運動分解成了質心運動部分和相對運動部分。接下來我們將仿照其中的過程來分析。首先，質心坐標算符和相對位置算符分別為
系統的總質量為M=m+m=2m，約化質量為μ=m×m/(m+m)=m/2，因此總動量算符和相對動量算符分別為
aa注意到x1、x2、p1、p2之間的對易關系為
由此容易證明下面六個對易關系：
所以x_C與p_C是一對互相共軛的位置算符與動量算符，x_R與p_R是另一對互相共軛的位置算符與動量算符。
從p_C、p_R與p1、p2的關系可以反解得到
借助對易性p_C p_R=p_R p_C，有
另一方面，借助x_R、x_C與x1、x2的關系反解出x1、x2可得
同樣，借助上式以及x_C與x_R的對易性，勢能可以改寫為
對上式最后一行方括號中的式子進行配方可得
將其代入前面勢能的表達式中，有
綜合上述結果，可以知道哈密頓算符能夠被寫為
注意到p_C與x_C是一對共軛的動量、坐標算符，以及根據[x_R,p_R]=i?可以得到
所以這一對算符也可以看成是一對共軛的坐標、位置算符，于是，前述哈密頓算符可以分解成兩個諧振子哈密頓算符（以及一個常數）：
第一個諧振子的質量為M，角頻率為ω，相應的能級公式為
第二個諧振子的質量為μ，角頻率與能級公式分別為
可見，這兩個等效諧振子的角頻率與前面從經典力學角度得到的簡諧運動模式的角頻率是一樣的。整個系統總的態空間是這兩個諧振子的態空間的直積：
由這兩個諧振子的能量本征態可以得到整個系統的能量本征態為
設這兩個諧振子各自的升降算符分別為
于是整個系統的能量本征態可以寫為
這個態所對應的能量本征值為
至此，整個系統的能量本征態與能級都被求解出來了。
據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。